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Cita de: mariluna2 en 29 Junio, 2014, 11:46:44 AM
La Academia DEIMOS ha publicado algunos de los problemas de Aragon y de Galicia


http://www.academiadeimos.es/wp-content/uploads/2014/06/Problemas-Junio-2014.pdf

Estos 3 problemas son de Aragón. Faltan otros 5. En Aragón fueron 2 opciones de 4 problemas cada una.

Cita de: Invitado2 en 29 Junio, 2014, 20:37:52 PM

Cita de: mariluna2 en 29 Junio, 2014, 11:46:44 AM
La Academia DEIMOS ha publicado algunos de los problemas de Aragon y de Galicia


http://www.academiadeimos.es/wp-content/uploads/2014/06/Problemas-Junio-2014.pdf

Estos 3 problemas son de Aragón. Faltan otros 5. En Aragón fueron 2 opciones de 4 problemas cada una.

Perdón también hay problemas de galicia y de Madrid.

Cita de: Invitado2 en 27 Junio, 2014, 14:17:42 PM

Problema 1:
Hallar la condición necesaria y suficiente para que el número a+bx/c+dx , sea un número racional para todo x real. (con c y d no nulos a la vez y siendo a, b, c y d racionales)

Alguien que haya este ejercicio bien puede indicarme como se hace? Por mas vueltas que le doy no consigo sacarlo

Yo creo que conseguí hallar la condición necesaria, aunque tampoco lo sé con seguridad. . Para ello supuse x irracional, ya que en caso de que x fuese racional no habría problema. Multiplique y dividí por el conjugado del denominador, de esta manera el denominador dejaría de ser irracional. Impo +bx).(c-dx) sea racional. Asi obtendremos que si bc-ad=0, entonces el número es racional.

Cita de: eleperrom en 04 Julio, 2014, 14:39:22 PM

Yo creo que conseguí hallar la condición necesaria, aunque tampoco lo sé con seguridad. . Para ello supuse x irracional, ya que en caso de que x fuese racional no habría problema. Multiplique y dividí por el conjugado del denominador, de esta manera el denominador dejaría de ser irracional. Impo +bx).(c-dx) sea racional. Asi obtendremos que si bc-ad=0, entonces el número es racional.

Perdona pero escribo desde el movil y no tiene la pantalla táctil muy allá.
Quiero decir imponemos que (a+bx)(c-dx) sea racional. Si lo desarrollo es ac+bcx-dax-bdx^2. Luego  imponiendo bc-da=0 ya lo tendriamos

sí, esa es la solución

Y si la raíz no es cuadrada que narices pasa? 

Pues que no seria racional de esa forma aunque sale esa misma condicion haciendo la division euclidea y ya ahi no hay problema con cualquier irracional que tomes. Ahora...esa seria la cond suf o nec?? Y cual es la otra?? Yo creo q esa es la cond suf.

Cita de: eleperrom en 04 Julio, 2014, 14:45:49 PM

Cita de: eleperrom en 04 Julio, 2014, 14:39:22 PM

Yo creo que conseguí hallar la condición necesaria, aunque tampoco lo sé con seguridad. . Para ello supuse x irracional, ya que en caso de que x fuese racional no habría problema. Multiplique y dividí por el conjugado del denominador, de esta manera el denominador dejaría de ser irracional. Impo +bx).(c-dx) sea racional. Asi obtendremos que si bc-ad=0, entonces el número es racional.

Perdona pero escribo desde el movil y no tiene la pantalla táctil muy allá.
Quiero decir imponemos que (a+bx)(c-dx) sea racional. Si lo desarrollo es ac+bcx-dax-bdx^2. Luego  imponiendo bc-da=0 ya lo tendriamos

Buenas, es la primera vez que escribo en el foro y antes de todo quiero saludar a todos.
Esa solución no es correcta ya que no cumple que sea racional para todo x real.
Me explico con una pregunta, ¿qué ocurre cuando x=-c/d? en este caso ¿cuánto vale (a+bx)/(c+dx)?
Yo hallé la siguiente solución, b=0 y d=0 y he llegado a ella de la siguiente forma, lo explico brevemente:
Por un lado, veamos cuando el denominador no se anula en este caso, para que el denominador no se anule para todo x real tiene que darse que d=0 con lo cual nos queda (a+bx)/c y para que este número sea racional para todo x tiene que darse que b=0.
Además a posteriori he llegado a la misma conclusión de la siguiente forma: si definimos f(x)=(a+bx)/(c+dx) tenemos que es una función real de variable real continua en todo la recta real excepto para x=-c/d. Ahora, si d y b son distinto de cero entonces para cualquier intervalo que no contenga a -c/d la función es continua, cojamos dos valores de x cuyo intervalo no contenga -c/d [x0,x1], la función es continua en dicho intervalo y f(x0) es distinto a f(x1) luego para cualquier s entre f(x0) y f(x1) existe t en [x0,x1] tal que f(t)=s, como los irracionales son densos en R luego existe un t tal que (a+bt)/(c+dt) es irracional, luego la función f tiene que ser constante para que no tenga ningún valor irracional, así que b=0 y d=0.

Estás en lo cierto, pero yo creo que esto es debe a qué en el enunciado decía para todo x real, sin embargo yo he visto en algún libro el enunciado de este problema y decía para todo x irracional, por lo que se solventaba este problema ya que x=-c/d es racional por serlo c y d, habría que tener cuidado también que pasa si d =0.